Question

【題目】如圖，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，點D在邊BC上，聯結AD， 以點A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E，點F在圓A上，且AF⊥AD．

（1）設BD為x，點D、F之間的距離為y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（2）如果E是的中點，求的值；

（3）聯結CF，如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長 ．

Answer 1

【答案】(1) (0≤x≤3); (2) ; (3) BD的長是1或.

【解析】

（1）過點A作AH⊥BC，垂足為點H．構造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度．聯結DF，點D、F之間的距離y即為DF的長度，在Rt△ADF中，利用銳角三角形函數的定義求得DF的長度，易得函數關系式．

（2）由勾股定理求得：AC=．設DF與AE相交于點Q，通過解Rt△DCQ和Rt△AHC推知．故設DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的長度，結合圖形求得線段BD的長度，易得答案．

（3）如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：①當AF∥DC、②當AD∥FC．根據相似三角形的判定與性質，結合圖形解答．

（1）過點作AH⊥BC，垂足為點H．

∵∠B=45°，AB=，∴．

∵BD為x，∴．

在Rt△中，，∴．

聯結DF，點D、F之間的距離y即為DF的長度．

∵點F在圓A上，且AF⊥AD，∴，．

在Rt△中，，∴．

∴． ;

（2）∵E是的中點，∴，平分．

∵BC=3，∴．∴．

設DF與AE相交于點Q，在Rt△中，，．

在Rt△中，，．

∵，∴．

設，，

∵，，∴．

∵，∴．

（3）如果四邊形ADCF是梯形

則①當AF∥DC時，．

∵，∴，即點D與點H重合． ∴．

②當AD∥FC時，．

∵，∴．

∵，∴．

∴∽．∴．

∵，．

∴．即,

整理得 ，解得 （負數舍去）．

綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，BD的長是1或．