Question

已知一元二次方程-x²+bx+c=0的兩個實數根是m，4，其中0＜m＜4．
（1）求b、c的值（用含m的代數式表示）；
（2）設拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．若點D的坐標為（0，-2），且AD•BD=10，求拋物線的解析式及點C的坐標；
（3）在（2）中所得的拋物線上是否存在一點P，使得PC=PD？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）一元二次方程-x²+bx+c=0的兩個實數根是m，4；
∴m+4=b，4m=-c，
∴b=m+4，c=-4m．

（2）由（1）知拋物線y=-x²+（m+4）x-4m與x軸兩個交點的坐標為（m，0）（4，0）；
∵AD•BD=10，
∴•=10
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴y=-x²+5x-4．
令x=0，
∴y=-4
∴C（0，-4）．
∴拋物線的解析式為y=-x²+5x-4，點C的坐標（0，-4）．

（3）要使得PC=PD，P點必在CD的垂直平分線l上；
∴直線l是y=-3
由，
解得，
∴拋物線上存在P點，使得PC=PD，且P點坐標為（，-3）或（，-3）．
分析：（1）已知了方程的兩根，用韋達定理即可求出b、c的值．
（2）已知了D點的坐標即可求出OD的長，也就能求出AD、BD的長，然后根據AD•BD=10可得出m的值．進而可求出拋物線的解析式．根據拋物線的解析式即可得出其與y軸的交點．
（3）如果PC=DP，那么P點必在線段CD的垂直平分線上，設這條垂直平分線為l，那么P點必為直線l與拋物線的交點，由此可求出P點的坐標．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系、二次函數解析式的確定、函數圖象交點等知識．