Question

已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．
（1）試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由；
（2）四邊形ABCD是軸對稱圖形嗎？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件發現△ABD≌△BAC（SAS），運用全等三角形的性質求得AC=BD，∠OAB=∠OBA．再根據等角對等邊證明OA=OB，從而證明OC=OD．再根據等邊對等角，有目的證明一對內錯角相等即可證明AB∥CD；
（2）由（1）的證明，明確了該三角形是等腰梯形，故又稱兩腰即可得到一個等腰三角形，再根據等腰三角形的性質進行證明即可．

解答：解：（1）AB∥CD．理由如下：
在△ABD和△BAC中

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=BA

．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．
∴OA=OB．
∴AC-OA=BD-OB．
∴OD=OC．
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠ODC+∠COD=180°．
2∠OBA+∠AOB=180°．
又∠COD=∠AOB，
∴∠CDO=∠OBA．
∴AB∥CD．

（2）四邊形ABCD是軸對稱圖形．理由如下：
延長AD、BC交于點P，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AP=BP．
∴點P在AB的垂直平分線上．
又OA=OB，∴點O在AB的垂直平分線上．
∴OP垂直平分線段AB，
∴點A與點B關于直線OP對稱①．
∵AB∥DC，
∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．
∴∠PDC=∠PCD．
∴DP=CP，∴點P在DC的垂直平分線上．
又OD=OC，∴點O在DC的垂直平分線上．
∴OP垂直平分線段DC．
∴點C與點D關于直線OP對稱②．
所以，綜上①②所述，四邊形ABCD是軸對稱圖形．

點評：熟練運用全等三角形的性質及其判定，掌握證明軸對稱圖形的思路．