Question

如圖，△ABD，△BCE和△ACF都是等邊三角形，連DE和EF．
（1）試判斷四邊形DAFE的形狀，并說明理由；
（2）當∠BAC多少度時，四邊形DAFE是矩形；
（3）探究下列問題：（只填滿足的條件，不證明）①當△ABC滿足______條件時，四邊形DAFE是菱形，②當△ABC滿足______條件時，以D、A、F、E為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

解：
（1）判斷：四邊形DAFE是平行四邊形，
理由：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°
∴∠DBE=∠ABC（1.5分）
又∵BD=BA，BE=BC
∴△ABC≌△DBE
∴AC=DE=AF（2.5分）
同理△ABC≌△FEC
∴AB=EF=AD（3.5分）
∴四邊形DAFE是平行四邊形

（2）若四邊形DAFE是矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°

（3）①若四邊形DAFE是菱形，則AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出現AB≠BC，因為當AB=AC=BC時，△ABC是等邊三角形，和△EBC就重合了．故填：AB=AC≠BC；
②當∠BAC=60°時，根據已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三點在同一條直線上，此時四邊形就不成立了．
故填：∠BAC=60°，不答“≠”不得分，②∠BAC=60°
分析：（1）四邊形DAFE是平行四邊形，根據△ABD，△BCE和△ACF都是等邊三角形容易得到全等條件證明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形的性質解決問題；
（2）根據（1）知道四邊形DAFE是平行四邊形，若四邊形DAFE是矩形，則∠DAF=90°，然后根據題目已知容易求出∠BAC=150°；
（3）根據（1）知道四邊形DAFE是平行四邊形，若四邊形DAFE是菱形，則AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出現AB≠BC，因為當AB=AC=BC時，△ABC是等邊三角形，所以∠BAC=60°，此時根據已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三點在同一條直線上，此時四邊形就不成立了．
點評：本題是開放題，可以結合特殊四邊形的判定方法探討不同給出的不同條件，此題要求學生對幾類特殊四邊形的性質與判定很熟練．