Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A(10,0)，以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．    
(l)當∠AOB=30°時，求弧AB的長；    
(2)當DE=8時，求線段EF的長；    
(3)在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，清求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)連接BC，A( 10 ,0) , ∴ OA= 10 , CA= 5 ,AOB= 30°， ∴∠ACB=2∠AOB= 60°，     ∴ 弧 AB 的長= (2)連接 OD. OA是OC直徑. ∴OBA= 90°，又AB=BD， ∴OB是AD 的垂直平分線. ∴OD= OA = 10， 在 Rt△ODE中， ∴AE=AO-OE= 10-6 =4， 由∠AOB = ∠ADE = 90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得：△OEF∽△DEA.,      (3)設OE=x，     ①當交點E在0，C之間時.由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB 相似. 有∠ECF =∠BOA 或∠ECF=∠OAB， 當∠ECF=∠BOA時.此時△OCF為等腰三角形.點 E為 OC中點， 即∴E1 (.0)； 當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x，AE=10-x， ∴CF∥AB. 有 CF= AB,△ECF∽△EAD， ，解得 ∴ E2(，0)     ②當交點 E在點C 的右側時.    ∠ECF>∠BOA，     ∴ 要使△ECF與△BAO相似.只能使∠ECF= ∠BAO,     連接 BE.     BE為 Rt ADE斜邊上的中線，     ∴BE= AB =BD，    ∠BEA= ∠BAO,     ∴∠BEA=∠ECF.      ∴CF∥BE.     ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA= 90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE，     ③當交點 E在點0 的左側時.    ∠BOA= ∠EOF>∠EGF.      ∴要使△ECF與△BAO相似.只能使∠ECF=∠BAO     連接 BE，得：BE =AD=AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF∥BF. 又∠ECF = ∠BAO，∠FEC = ∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， 而AD=2BE, 解得 點 E在x 軸負半軸上 綜上所述：存在以點 E：C、F為頂點的三角形與△AOB相似. 此時點 E坐標為：.