Question

如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，已知：∠B=∠CAD=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，求sin∠BAC的值．

Answer 1

（1）證明：連接OA，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
可得∠OAC=60°，
又∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
所以AD是⊙O的切線；
（2）∵OC⊥AB，OC是半徑，
弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴sin∠BAC=．
分析：（1）連接OA，由已知∠B=∠CAD=30°，所以得∠AOC=60°，繼而可得∠OAC=60°，又∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，問題得證；
（2）由于OD⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，進而求出其正弦值．
點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的判定和30°角的正弦值．