Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→ C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P、Q運動的時間為t（秒）.

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與時間t的函數關系式；
（3）以O、P、Q為頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值，若不能，請說明理由；
（4）經過A、B、C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？若能，請求出此時t的值（或范圍），若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）（2≤t≤3）（3）不能（4）能夠交于一點，此時0≤t≤2

解：（1）設經過A、B、C三點的拋物線的解析式為：，
把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得：
，解得：。
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為：。
（2）∵可求BC=2，OC=2，OA=6
∴當點Q在CO邊上運動，點P在OA邊上運動時，2≤t≤3。
如圖，過點C作CD⊥x軸的于點D，過點Q作QH⊥x軸的于點H，

則OD=1，CD=，OC=2，。
由△OQH∽△OCD得，，即，
∴。
又∵動點P的速度是每秒2個單位，∴OP=2t。
∴。
∴所求△OPQ的面積S與時間t的函數關系式為：（2≤t≤3）。
（3）根據題意可知，0≤t≤3。
當0≤t≤2時，點Q在BC邊上運動，此時，OP=2t，。
∵OD=1，CD=，∴�！�。
∵，∴若△OPQ為直角三角形，只能是或。
若，則，即，
解得，或（舍去）。
若，則，即，
解得，。
當2＜t≤3時，點Q在CO邊上運動，此時，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，
∴此時，△OPQ不可能為直角三角形。
綜上所述，當或時，△OPQ為直角三角形。
（4）由（1）可得，其對稱軸為。
又直線OB的解析式為，
∴拋物線對稱軸與OB的交點為M（0，）。
又P（2t，0），
設過點P、M的直線解析式為，則
，解得。
∴過點P、M的直線解析式為 。
又當0≤t≤2時，Q，
把代入得
，
∴點Q在直線PM上，即當0≤t≤2時，點P、M、Q總在一直線上。
當2＜t≤3時，，，∴Q。
代入，解得或，均不合題意，舍去。
綜上所述，經過A、B、C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點，此時0≤t≤2。
（1）應用待定系數法求解即可。
（2）過點C作CD⊥x軸的于點D，過點Q作QH⊥x軸的于點H，由△OQH∽△OCD得比例式，從而用t表示出△OPQ的邊OP上的高，進而根據三角形面積公式即可求得所求△OPQ的面積S與時間t的函數關系式。
（3）分點Q在BC邊上運動（0≤t≤2）和點Q在CO邊上運動（2＜t≤3）兩種情況討論。
（4）根據二次函數的性質求出拋物線對稱軸，求出直線OB的解析式，從而得到二者的交點
M（0，），進而求出點P、M的直線解析式為。分分點Q在BC邊上運動（0≤t≤2）和點Q在CO邊上運動（2＜t≤3）兩種情況討論點Q與直線的關系，得出結論。