Question

【題目】在中，，，是上一點，連接

（1）如圖1，若，是延長線上一點，與垂直，求證：

（2）過點作，為垂足，連接并延長交于點.

①如圖2，若，求證：

②如圖3，若是的中點，直接寫出的值（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

(1)延長交于點，證明即可得；

(2)①過點作交的延長線于點，由(1)，得，再根據平行線分線段成比例定理即可得到結論；

②過點C作CD//BP交AB的延長線于點D，延長AM交CD于點H，先證明△BPM≌△CHM，從而可得BP=CH，PM=HM，再證明△ABM∽△BPM，得到，在Rt△PCH中，由tan∠PCH=可得tan∠BPQ=，繼而根據BC=2BM，即可求得答案.

(1)延長交于點，

∵與垂直，，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴；

(2)①過點作交的延長線于點，

∵，∴與垂直，

由(1)，得，

∵，

∴，即；

②過點C作CD//BP交AB的延長線于點D，延長AM交CD于點H，

∴∠PCH=∠BPQ，

∵，∴⊥，

∴∠BPM=∠CHM=90°，

又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，

∴△BPM≌△CHM，

∴BP=CH，PM=HM，

∴PH=2PM，

∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，

∴△ABM∽△BPM，

∴，

在Rt△PCH中，tan∠PCH=，

∴tan∠BPQ=，

又∵BC=2BM，，

∴tan∠BPQ=.