Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=5，AC=6，BD=8．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）過點A作AH⊥BC于點H，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題（1）由平行四邊形的對角線互相平分得到△AOB的兩條邊OA、OB的長度，則根據勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四邊形的對角線互相垂直平分，故四邊形ABCD是菱形．

（2）根據菱形的不變性，用不同方法求面積：平行四邊形的面積=菱形的面積，可求解.

試題解析：（1）證明：∵在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=5，AC=6，BD=8，

∴AO=AC=3，BO=BD=4，

∵AB=5，且32+42=52，

∴AO2+BO2=AB2，

∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=5，

∵S△ABC=ACBO=BCAH，

∴×6×4=×5×AH，

解得：AH=．