Question

【題目】已知：拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線y＝﹣x+3經過B、C兩點

（1）填空：b＝　 　（用含有a的代數式表示）；

（2）若a＝﹣1

①點P為拋物線上一動點，過點P作PM∥y軸交直線y＝﹣x+3于點M，當點P在第一象限內時，是否存在一點P，使△PCB面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

②當m≤x≤m+3時，y的取值范圍是2m≤y≤4，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣3a﹣1；（2）①P（ ，）；②m的值為0或﹣．

【解析】

（1）直線經過B、C兩點，先求出兩點坐標，再帶入拋物線解析式中求出表達式，然后再得到結果（2）若a=-1時，先寫出拋物線解析式，然后根據條件求點P的坐標，再根據已知的m的范圍，對照函數圖象，求出m的值.

解：（1）直線y＝﹣x+3，當y＝0時，x＝3；當x＝0時，y＝3，

∴B（3，0）、C（0，3），

∵拋物線過B（3，0）、C（0，3），

∴解得：b＝﹣3a﹣1，

故答案為﹣3a﹣1．

（2）若a＝﹣1，則拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

①假設存在點P（x，﹣x2+2x+3）使得△PCB的面積最大，

∴M（x，﹣x+3），

∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，

∵S△ABP＝S△PMC+S△PMB＝PMOB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x2﹣3x）

＝﹣（x﹣）2+，

當點P（，）在第一象限，此時△PBC的面積最大，

故存在點P的坐標為：P（ ，），△PBC的面積最大．

②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，有最大值4，

∴由題意可知m≤1，m+3≥1

當m＝﹣是x＝m和m+3對應的函數值相等，

當﹣＜m＜1時，2m＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3，

解得m1＝0，m2＝﹣6（不合題意舍去），

當﹣2＜m＜﹣時，﹣m2+2m+3＝2m，

∴m＝（舍）或m＝﹣

故m的值為0或﹣．