Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=－1．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）動點Ｑ從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動．過點Ｑ作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒

①當t為何值時，四邊形OMPＱ為矩形；

②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－－2x+3；（2）①t=；②t=秒或秒或秒．

【解析】試題分析：（1）將拋物線解析式設成頂點式，然后將（1，0）和（0，3）代入求出函數解析式；（2）將x=t代入二次函數解析式，從而得出PQ的長度，然后根據PQ=OM得出方程，求出t的值；（3）首先求出直線AB的解析式，從而得出點N的坐標，求出ON的長度，然后根據等腰三角形的性質分OA=ON，ON=AN，AN=AO三種情況分別求出t的值．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+k，

將（1，0），（0，3）代入，得，解得a=－1，k=4，所以拋物線的解析式為y=－x2－2x+3；

（2）①將x=t，代入y=－x2－2x+3得y=－t2－2t+3，即PQ=－t2－2t+3，當PQ=OM時四邊形OMPQ為矩形，即3t=－t2－2t+3，解得t1=，t2=（舍去），所以當t=時，四邊形OMPQ為矩形-

②△AON能為等腰三角形

理由如下：

設直線AB的解析式為y=kx+b，將（1，0）（0，3）代入，得，解得k=－3，b=3，

所以AB的解析式為y=－3x+3，將x=t代入，得y=－3t+3，N點的坐標為（t，－3t+3），

ON=

（Ⅰ）當OA=ON時，△AON是等腰三角形，即1=，解得t1=1（舍去），t2=．

（Ⅱ）當ON=AN時，△AON是等腰三角形，因為NQ⊥x軸，所以當OQ=QA，即當t=時，△AON是等腰三角形

（Ⅲ）當AN=AO時，AN2=NQ2+AQ2=（－3t+3）2+（1－t）2，

即（－3t+3）2+（1－t）2=1，解得t1=，t2=＞1，舍去．

綜上，當t為秒，秒，秒時，△AON是等腰三角形．