Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

（1）（2）該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）（3）當h最大（即點M到直線BC的距離最遠）時，△ABC的面積最大，M（2，﹣3）

解：（1）∵B（4，0）在拋物線的圖象上
∴，即：。
∴拋物線的解析式為：。
（2）由（1）的函數解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。
∴OA=1，OC=2，OB=4�！�。
又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB�！唷螼CA=∠OBC。
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑。
∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）。
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2。
設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=，即： x²﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。
∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4�！嘀本�l：y=x﹣4。
∵，當h最大（即點M到直線BC的距離最遠）時，△ABC的面積最大。
∴點M是直線l和拋物線的唯一交點，有：
，解得：�！� M（2，﹣3）。
（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可。
（2）根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標。
（3）△MBC的面積可由表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M。