Question

如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．
（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求此切線長；
（3）點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與EAD△相似時，求出BF的長．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點坐標式，然后將C點坐標代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切線，連接AE，那么根據切線的性質知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圓的半徑，即AE=OA=AB=3，而A、D關于拋物線的對稱軸對稱，即AB=BD=3，由此可得到AD的長，進而可利用勾股定理求得切線DE的長．
（3）若△BFD與EAD△相似，則有兩種情況需要考慮：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根據不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+k；
∵拋物線經過點A（3，0）和C（0，9），
∴

9a+k=0 36a+k=9

，
解得：a=

1

3

，k=-3，
∴y=

1

3

(x-6)2-3．

（2）連接AE；
∵DE是⊙A的切線，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=6²-3²=27，
∴DE=3

3

．

（3）當BF⊥ED時；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴

AE

BF

=

AD

BD

，
即

3

BF

=

6

3

，
∴BF=

3

2

；
當FB⊥AD時，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴

AE

BF

=

ED

BD

，
即BF=

3×3

3 3

=

3

；
∴BF的長為

3

2

或

3

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、二次函數的對稱性、勾股定理以及相似三角形的性質等重要知識；需要注意的是，當相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．