Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4．分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過F點的反比例函數的圖象與AC邊交于點E．
（1）設點E，F的坐標分別為：E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，求證：S₁=S₂；
（2）若y₂=1，求△OEF的面積；
（3）當點F在BC上移動時，△OEF與△ECF的面積差記為S，求當k為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）證明：設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得y₁=，y₂=，
∴S₁=x₁y₁=k，S₂=x₂y₂=k，
∴S₁=S₂；

（2）解：由題意知E，F兩點坐標分別為E（，4），F（6，），
∵y₂=1，∴=1，
∴k=6，
∴E點坐標為：（，4），F點坐標為：（6，1），
∴EC=6-=，FC=4-1=3，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=4×6-××4-×6×1-××3，
=；

（3）解：∵E，F兩點坐標分別為E（，4），F（6，），
∴S_△ECF=EC•CF=（6-）（4-），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=24-k-k-S_△ECF，
=24-k-S_△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF=24-k-2S_△ECF=24-k-（24-2k+k²），
=-k²+k，
=-（k-12）²+6，
當k=12時，S有最大值．
S_最大值=6．
分析：（1）分別用點E，F的坐標表示出△AOE與△FOB的面積，再利用反比例函數的性質xy=k，再進行比較即可；
（2）根據題意可得E，F兩點坐標分別為E（，4），F（6，），再利用y₂=1，得出E，F坐標，進而求出△OEF的面積；
（3）應分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數求出最值即可．
點評：此題主要考查了反比例函數的圖象和性質、圖形的面積計算、二次函數最值等知識，求坐標系內一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式求出是解題關鍵．