Question

【題目】如圖①所示，四邊形ABCD是長方形，將長方形ABCD折疊，點B恰好落在AD邊上的點E處，折痕為FG，如圖②所示：

（1）圖②中，證明：GE=EF；
（2）將圖②折疊，點C與點E重合，折痕為PH，如圖③所示，當∠FEH=90°時：
①當EF=5，EH=12時，求長方形ABCD的面積；
②將圖③中的△PED繞著點E旋轉，使點D與點A重合，點P與點M重合，
如圖④，求證：△GEM≌△FEH．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖2，

由折疊得：∠BFG=∠EFG，

∵EG∥BC，

∴∠EGF=∠BFG

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF；

（2）

證明：①如圖3，

∵∠FEH=90°，

∴FH= = =13，

由折疊得：BF=EF=5，CH=EH=12，

∴BC=BF+FH+HC=5+13+12=30，

過E作EM⊥BC于M，

S△EFH= EFEH= FHEM，

×5×12= ×13×EM，

EM= ，

∴長方形ABCD的面積=EM×BC= ×30= ；

②

由折疊得：AE=DE，

∠GAE=∠MAE=90°，

∴G、A、M共線，

由（1）得：EG=EF，

同理得：EH=EP，

∵EP=EM，

∴EM=EH，

∵∠AEF=∠FEH=90°，

∴A、E、H共線，

∴∠AEG=∠HEP，

∵∠DEH=90°，

∴∠DEP+∠HEP=90，

∴∠DEP+∠AEG=90°，

由旋轉得：∠DEP=∠AEM，

∴∠AEM+∠AEG=90°，

∴∠GEM=∠FEH=90°，

∴△GEM≌△FEH．

【解析】（1）由折疊得：∠BFG=∠EFG，再由平行線的性質可得：∠EFG=∠EGF，所以EG=EF；（2）①先求BC的長，再作△EFH的高線EM，并利用面積法求EM= ，根據面積公式求長方形ABCD的面積；
②由（1）得：EG=EF，同理EH=EP，再根據旋轉得：EM=EH，再證明∠GEM=∠FEH=90°，根據SAS可證明兩三角形全等．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用軸對稱的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．