Question

如圖，一次函數y=-2x的圖象與二次函數y=-x²+3x圖象的對稱軸交于點B．
（1）求點B的坐標；
（2）已知點P是二次函數y=-x²+3x圖象在對稱軸右側部分上的一個動點，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+3x的對稱軸為直線x=，
∴當x=時，y=-2x=-3，
即B點坐標為（，-3）；

（2）設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
則OD=2a，OC=a，根據勾股定理可得：CD=a，
以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
①當∠CDP=90°時，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=a，設P的橫坐標是x，則P點縱坐標是-x²+3x，
根據題意得：，
解得：，
則P的坐標是：（，）
∵點P是二次函數y=-x²+3x圖象在對稱軸右側部分上的一個動點，
∴該點舍去，
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
②當∠DCP=90°時，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（，），
若DC：PC=OC：OD=1：2，則P（，），
綜上可知：若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標為：（2，2）、、．
分析：（1）由y=-x²+3x可知圖象的對稱軸為x=-=，再把x=代入一次函數y=-2x求出y值即B的縱坐標；
（2）設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點坐標即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是利用平行線的解析式之間的關系，相似三角形的判定與性質，分類求解．