Question

（1999•海淀區）已知二次函數y=ax²+bx+c，其中a＞0，b²-4a²c²=0，它的圖象與x軸只有一個交點，交點為A，與y軸交于點B，且AB=2．
（1）求二次函數解析式；
（2）當b＜0時，過A的直線y=x+m與二次函數的圖象交于點C，在線段BC上依次取D、E兩點，若DE²=BD²+EC²，試確定∠DAE的度數，并簡述求解過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線與x軸只有一個交點，那么根的判別式△=0，聯立b²-4a²c²=0，即可求出b的值及ac的關系式；將b的值代入拋物線的解析式中，即可用a、c表示出A、B的坐標，在Rt△OAB中，根據勾股定理可得到另一個關于a、c的關系式，聯立上面所得的a、c的關系式，即可得到a、c的值；由此可求出該拋物線的解析式；
（2）根據（1）題所得的b＜0時拋物線的解析式，可求出A、B的坐標；根據A點的坐標即可求出直線y=x+m的解析式，進而可得到C點的坐標；若過C作CF⊥x軸于F，根據B、A、C的坐標，易證得△OAB、△BAC、△CAF都是等腰Rt△；在CF上截取CM=BD，易證得△ABD≌△ACM，可得AD=AM；已知DE²=BD²+EC²，在Rt△CEM中，根據勾股定理有：EC²+CM²=EM²，等量代換后可得到DE=ME，由此可證得△DAE≌△MAE，得∠DAE=∠EAM；而∠BAD=∠CAM，即∠BAC=∠DAM=90°，由此可得到∠DAE=45°．
解答：解法一：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=0，（1分）
又∵b²-4a²c²=0，
∴4a²c²=4ac≥0，
由AB=2，得A與B不重合，
又∵a＞0，
∴c＞0，
∴ac=1，（1）
∴b²=4解得b=±2，（2分）
∴二次函數與x軸，y軸交點坐標為A（，0）B（0，c）或A（-，0）B（0，c），
在Rt△ABO中，OA²+OB²=AB²，OA=，0B=c，AB=2，
∴（）²+c²=4，
整理得1+a²c²=4a²；（2）
把（1）代入（2），
解得a=或a=-（舍），
把a=代入（1）
得c=，（4分）
∴二次函數解析式為y=x²+2x+或y=x²-2x+．（5分）

（2）當b＜0時，由二次函數的解析式得A（，0）B（0，），（6分）
又∵直線y=x+m過點A（，0），
∴m=-，y=x-，
由
解得，直線與二次函數圖象交點C的坐標為（2，），（8分）
過C點作CF⊥x軸，垂足為F，可推得AB=AC，∠BAC=90°（如圖所示）（9分）
在CF上截取CM=BD，連接EM、AM，則EC²+CM²=EM²，
∵CE²+BD²=DE²，
∴EM=DE，
可證△ABD≌△ACM，
從而可證△DAE≌△MAE，（10分）
∴∠DAB=∠CAM，∠DAE=∠EAM，
∴∠DAM=∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°．（11分）

解法二：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=0，（1分）
∵b²-4a²c²=0，
∴b=±2ac，
∴b²±2b=0，
解得b=2，b=0；b=-2，b=0，
∵b=0時，A與B兩點重合
∴b=0舍去．（2分），
以下同解法一．
點評：此題是二次函數的綜合題型，涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法以及全等三角形的判定和性質等重要知識，能夠正確地構建與已知和所求相關的全等三角形是解答（2）題的關鍵．