Question

如圖，已知平面直角坐標系中，點A(2,m)，B(-3,n)為兩動點，其中m﹥1，連結，，作軸于點，軸于點．

（1）求證：mn=6；

（2）當時，拋物線經過兩點且以軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數的關系式；

（3）在（2）的條件下，設直線交軸于點，過點作直線交拋物線于兩點，問是否存在直線，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直線對應的函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解:（1）點坐標分別為(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，

又，易證，∴,

∴,

∴mn=6．

（2）由（1）得，，又，，

即∴，

又,∴,又∵mn=6, ∴

∴m=6(),n=1

坐標為坐標為，易得拋物線解析式為．

（3）直線為，且與軸交于點，

假設存在直線交拋物線于兩點，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如圖所示，

則有PF:FQ=1:2，作軸于點，軸于點，

在拋物線上，設坐標為，

則FM=，易證，∴,

∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴

點坐標為,Q點在拋物線上，

，解得，

坐標為，坐標為，

易得直線為．

根據拋物線的對稱性可得直線的另解為．