Question

已知關于x的方程kx²-（3k-1）x+2k-2=0．
（1）判斷命題：“無論k為何值，方程總有兩個實數根”的真假，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題請舉一次反例．
（2）若k≠0，設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），當k的取值范圍滿足什么條件時，有x₁（1-x₂）+x₂＜

k2

2

成立？

Answer 1

分析：（1）由于k的取值范圍不確定，可知kx²-（3k-1）x+2k-2=0可能為一元二次方程，也可能為一元一次方程，當其為一元一次方程時，只有一個實數根．
（2）由于k≠0，可知方程為一元二次方程，先求出兩根之和與兩根之積的表達式，再代入x₁（1-x₂）+x₂＜

k2

2

解答．

解答：解：（1）“無論x取何值，方程總有兩個實數根”是假命題，
反例：當k=0時，原式可化為x-2=0，解得x=2，只有一個實數根．

（2）∵k≠0，
∴x₁+x₂=

3k-1

k

，x₁•x₂=

2k-2

k

，
又∵x₁（1-x₂）+x₂＜

k2

2

，
∴x₁+x₂-x₁•x₂=

3k-1

k

-

2k-2

k

=

3k-1-2k+2

k

=

k+1

k

，
于是

k+1

k

＜

k2

2

，
①當k＞0時，k²-2k-2＞0，解得k＜1-

3

（舍去）或k＞1+

3

；
②當k＜0時，k²-2k-2＞0，k取任意實數．
綜上所述，k＞1+

3

或k＜0．

點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系、命題與定理、反證法，綜合性較強．