Question

如圖，已知A(0，1)、C(4，3)、E，P是以AC為對角線的矩形ABCD內部(不在各邊上)的一個動點，點D在y軸，拋物線y＝ax²＋bx＋1以P為頂點．

(1)說明點A、C、E在一條直線上；

(2)能否判斷拋物線y＝ax²＋bx＋1的開口方向？請說明理由；

(3)設拋物線y＝ax²＋bx＋1與x軸有交點F、G(F在G的左側)，△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點．這時能確定a、b的值嗎？若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)如圖，由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y＝x＋1．將點E的坐標E代入y＝x＋1中，左邊＝，右邊＝×＋1＝， 　　∵左邊＝右邊，∴點E在直線y＝x＋1上，即點A、C、E在一條直線上． 　　(2)解法一：能．由于動點P在矩形ABCD內部，∴點P的縱坐標大于點A的縱坐標，而點A與點P都在拋物線上，且P為頂點，∴這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下． 　　解法二：能．∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點P的縱坐標為，且P在矩形ABCD內部， 　　∴1＜＜3，由1＜1－得＞0，∴a＜0，∴拋物線的開口向下． 　　(3)不能，只能確定a、b的取值范圍． 　　連接GA、FA，∵S△GAF－S△FAO＝3 　　∴GO·AO－FO·AO＝3 　　∴OA＝1， 　　∴GO－FO＝6． 　　設F(x1，0)、G(x2，0)，則x1、x2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，且x1＜x2， 　　又∵a＜0，∴x1·x2＝＜0，∴x1＜0＜x2， 　　∴GO＝x2，FO＝－x1，∴x2－(－x1)＝6，即x2＋x1＝6，∵x2＋x1＝，∴＝6， 　　∴b＝－6a，∴拋物線解析式為：y＝ax2－6ax＋1，其頂點P的坐標為(3，1－9a)， 　　由方程組得ax2－(6a＋)x＝0 　　∵頂點P在矩形ABCD內部，∴1＜1－9a＜3，∴＜a＜0． 　　∴x＝0或x＝＝6＋． 　　當x＝0時，即拋物線與線段AE交于點A，而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，則有0＜6＋≤，解得≤a＜ 　　綜合得＜a＜．∵b＝－6a，∴＜b＜．