Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N．以下四個結論：①△PMN等邊三角形；②除了△PMN外，還有4個等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④當DM＝2時，則DC＝6．其中正確的結論是：_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

由已知條件，根據三角形內角和等于180°、角的平分線的性質求得各個角的度數，然后利用等腰三角形的判定進行找尋，注意做到由易到難．

∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高，

∴∠DAC＝45°，又∵∠ACB＝45°，

∴△ADC為等腰直角三角形．

∵∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N

∴∠ABM＝30°，

又∵∠BAM＝30°

∴△AMB為等腰三角形．

由題意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°

∴△BNC為等腰三角形．

∠PMN＝∠MNP＝60°

∴△MNP為等邊三角形，故①正確；

∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，

∴∠BEA＝75°，

∴△ABE為等腰三角形；

∴除了△PMN外，還有4個等腰三角形，故②正確；

∵AD，CF分別是BC，AB邊上的高，

∴∠ADB＝∠BFC＝90°，

∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，

∴∠BAD＝∠DCP，

∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，

∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正確；

在直角三角形BDM中，

∵MD＝2，∠MBD＝30°，

∴BM＝4，

在等腰三角形AMB中，BM＝AM，

∴AD＝AM+MD＝6，

在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，

∴DC＝6，故④正確；

故答案為：①②③④．