Question

在等腰梯形中，，一條直線與下底相交于點，且直線將等腰梯形的周長平分。 

（1）如圖，若直線與腰相交于點，設為，試用含的代數式表示的面積；

（2）是否存在直線將等腰梯形的周長和面積同時平分？若存在，指出符合要求的所有直線的特征；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點作，垂足為；過點作，垂足為

由題意知，的周長為12，。

∴

，即，

∴

∴。

（2）存在。

 ①當與腰相交時，

，

∴由（1）得　　解這個方程，得

 由題意知，，故只取。

 當時，  故直線過點，且。

②當與腰相交時，由對稱性知，過點，且。

③當與相交時，作，垂足為，連接，，其交點為，

由對稱性知。過點的直線均符合條件。

綜上所述。過點且與下底相交的直線均能將等腰梯形的周長和面積同時平分。