Question

(2006，棗莊)半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P．已知BC∶CA=4∶3，點P在AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點O．

(1)當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；

(2)當點P運動到AB的中點時，求CQ的長；

(3)當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)當點P與點C關于AB對稱時，CP⊥AB，設垂足為D． ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°． ∴AB=5，BC∶CA=4∶3， ∴BC=4，BC=3． 又∵AC·BC=AB·CD ∴，． 在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB=∠PCQ=90°， ∠CAB=∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ∴，． (2)當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E(如圖)． ∵P是弧AB的中點， ∴∠PCB=45°， 又∠CPB=∠CAB ∴ ∴，從而 由(1)得． (3)點P在弧AB上運動時，恒有． 故PC最大時，CQ取到最大值． 當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ最大值為．