Question

【題目】定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．

（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．

（2）如圖2，在（1）的條件下，取EF中點M，連結DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC于點N．若N為AC的中點，DE＝2BE，QB＝3，求鄰余線AB的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10．

【解析】

（1）由等腰三角形的三線合一定理先證AD⊥BC，再證∠DAB+∠DBA＝90°，由鄰余四邊形定義即可判定；

（2）由等腰三角形的三線合一定理先證BD＝CD，推出CE＝5BE，再證明△DBQ∽△ECN，推出，即可求出NC，AC，AB的長度．

解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∴∠FAB與∠EBA互余，

∴四邊形ABEF是鄰余四邊形；

（2）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，

∴BD＝CD，

∵DE＝2BE，

∴BD＝CD＝3BE，

∴CE＝CD+DE＝5BE，

∵∠EDF＝90°，點M是EF的中點，

∴DM＝ME，

∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△DBQ∽△ECN，

∴，

∵QB＝3，

∴NC＝5，

∵AN＝CN，

∴AC＝2CN＝10，

∴AB＝AC＝10．