Question

如下圖，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1 cm/s；點P沿CA、AB向終點B運動，速度為2 cm/s，設它們運動的時間為x(s)．

(1)求x為何值時，PQ⊥AC；

(2)設△PQD的面積為y(cm²)，當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；

(3)當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系．請寫出相應位置關系的x的取值范圍(不要求寫出過程)

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC． 　　當，由題意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x， 　　∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝60°， 　　若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，∴PC＝2CQ 　　∴4－x＝2×2x，∴x＝， 　　∴當x＝(Q在AC上)時，PQ⊥AC； 　　(2)當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QH⊥BC于H， 　　∵∠C＝60°，QC＝2x，∴QH＝QC×sin60°＝x 　　∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2 　　∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－ 　　(3)當0＜x＜2時，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝60°， 　　∴HC＝x，∴BP＝HC 　　∵BD＝CD，∴DP＝DH， 　　∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH， 　　∴OP＝OQ 　　∴S△PDO＝S△DQO， 　　∴AD平分△PQD的面積； 　　(4)顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離 　　當x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切． 　　當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．