Question

已知二次函數y=x²-2（m-1）x+m²-2．
（1）證明：不論m為何值，二次函數圖象的頂點均在同一直線上，求出此直線的函數解析式；
（2）若二次函數圖象在x軸上截得的線段長為4，求出此二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）二次函數的頂點坐標為（m-1，2m-3），
頂點坐標在某一直線的圖象上，
即橫坐標為x=m-1，
縱坐標為y=2m-3=2（x+1）-3
y=2x-1．
故不論m為何值，二次函數的頂點都在直線y=2x-1上；

（2）設二次函數的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），
由已知|x₂-x₁|=4，再利用根與系數的關系，得

又（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
∴16=4（m-1）²-4（m²-2）
解得：m=-
∴原二次函數的解析式為：y=x²+3x-．
分析：（1）先根據二次函數的解析式求出其頂點坐標，而其頂點坐標為新函數上任意一點，即橫坐標為x=m-1，縱坐標為y=2m-3，整理即可得到所求函數的解析式；
（2）根據根與系數的關系求出兩根之積與兩根之和的表達式，再將|x₂-x₁|=4兩邊平方，轉化為關于m的方程，解答即可．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數根與系數的關系，綜合性較強，要求同學們有較強的分析能力．