Question

如圖，點A、C分別在一個含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點C作BE的垂線CD，過E點作EF上AE交∠DCE的角平分線于F點，交HE于P．
（1）試判斷△PCE的形狀，并請說明理由；
（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長．

Answer 1

解：（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=∠DCE=×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6
分析：（1）根據∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求證∠CPE=90°，然后即可判斷三角形的形狀．
（2）根據∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根據BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因為AE=2AB．然后即可求得EF．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形等知識點的理解和掌握，解答（2）的關鍵是利用ASA求證△HAE≌△CEF，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．