Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（0，1），與x軸的一個交點B的坐標為（2，0），點P在拋物線上，其橫坐標為2n（0＜n＜1），作PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點D
（1）求拋物線的解析式；
（2）用n的代數式表示CD、PD的長，并通過計算說明與的大小關系；
（3）若將原題中“0＜n＜1”的條件改為“n＞1”，其他條件不變，請通過計算說明（2）中結論是否仍然成立？

Answer 1

解：（1）如上圖
∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（0，1），經過（2，0）點
∴y=ax²+1
又4a+1=0
解得a=-
∴拋物線的解析式為y=-x²+1；（ 2分）

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b
∵A（0，1）B（2，0）
∴
解得
∴直線AB的解析式為y=-+1 3分
∵點P的坐標為（2n，1-n²），且點P在第一象限．
又∵PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點D
∴x_D=OC=2n，y_D=-×2n+1=1-n，且點D在第一象限
∴CD=1-n
PD=y_P-y_D=n（1-n）
∵0＜n＜1
∴
∵
∴；

（3）當n＞1時，P、D兩點在第四象限，且P點在D點的下方（如圖），
y_D＞y_Y點P的坐標為（2n，1-n²）
∵x_D=OC=2n
∴y_D=-×2n+1=1-n
∵D點在第四象限
∴CD=y_D=1-n
PD=y_P-y_D=n（n-1）
∵n＞1
∴
∵
∴仍然成立．
分析：（1）根據題意把點A（0，1），（2，0）代入解析式求解即可得到y=-x²+1；
（2）先利用待定系數法解得直線AB的解析式為y=-+1，再根據點P的坐標為（2n，1-n²），求出CD=1-n，PD=y_P-y_D=n（1-n），從而得到=；
（3）利用同樣的方法可求得CD=y_D=1-n，PD=y_P-y_D=n（n-1），所以代入到與，得到=．
點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．