Question

已知二次函數y=x²-mx+m-2。
（1）求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）當該二次函數的圖象經過點（3，6）時，求二次函數的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自點A出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后到達點B，求使點P運動的總 路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長。

Answer 1

解：（1）令y=0，則x2-mx+m-2=0， ∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， 又∵（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4>0， 即△>0， ∴無論m為任何實數，一元二次方程x2-mx+m-2=0總有兩不等實根， ∴該二次函數圖象與x軸都有兩個交點； （2）∵二次函數y=x2-mx+m-2的圖象經過點（3，6）， ∴32-3m+m-2=6， 解得m=， ∴二次函數的解析式為；
（3）如圖，將y=x的圖象向下平移2個單位長度后， 其解析式為：y=x-2， 解方程組 得  ∴直線y=x-2與拋物線y=x2-x-的交點為A（，），B（1，-1）， ∴點A關于對稱軸x=的對稱點是A′（0，-）， 點B關于x軸的對稱點是B′（1，1）， 設過點A′B′的直線解析式為y=kx+b， ∴解得 ∴直線A′B′的解析式為y=x- ∴直線A′B′與x軸的交點為F（，0）， 與直線x=的交點為E（，-）， 則點E（，-）、F（，0）為所求， 過點B′作B′H ⊥AA′于點H， ∴B′H=，HA′=1， 在Rt△A′B′H中， ∴所求最短總路徑的長為AE+EF+FB=A′B′=。