Question

 已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．求證：AB=CD．

Answer 1

證明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，
∵BC⊥AF，點D與點A關于點E對稱，
∴BC是AD的垂直平分線，
∴AC=CD，
∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠ACE，
∴AB=AC，
∴AB=CD．
分析：根據角平分線的定義可得∠CAD=∠DAB=∠BAC，然后求出BC是AD的垂直平分線，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AC=CD，再利用直角三角形兩銳角互余求出∠ABE=∠ACE，然后根據等角對等邊求出AB=AC，從而得證．
點評：本題考查了三角形的角平分線，直角三角形的性質，線段垂直平分線的判定與性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質并求出AB、CD都與AC相等是解題的關鍵．