Question

如圖，以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸，點O為坐標原點，使點A在第一象限建立平面直角坐標系，其中△OAB邊長為6個單位，點P從O點出發沿折線OAB向B點以3單位/秒的速度向B點運動，點Q從O點出發以2單位/秒的速度沿折線OBA向A點運動，兩點同時出發，運動時間為t（單位：秒），當兩點相遇時運動停止。

（1）點A坐標為_____________，P、Q兩點相遇時交點的坐標為________________；
（2）當t=2時，____________；當t=3時，____________；
（3）設△OPQ的面積為S，試求S關于t的函數關系式；
（4）當△OPQ的面積最大時，試求在y軸上能否找一點M，使得以M、P、Q為頂點的三角形是Rt△，若能找到請求出M點的坐標，若不能找到請簡單說明理由。

Answer 1

（1）A點坐標為、交點坐標為； （2）當t=2時，； 當t=3時， ； （3）； （4）(1) 對（3）中的分段函數進行計算后得知當t=2， S有最大值，此時P與A重合，OP=6，OQ=4，過P作PC⊥OB于C點， 計算得OC=3，AC=，CQ=1，PQ= ①如圖①，過P作PM⊥PQ交y軸于M點，過M作MN⊥AC于N，則MN=OC=3， 易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC= 故M點坐標為 ； ②過Q作MQ⊥PQ交y軸于M點，通過△MOQ∽△QCP，求得M坐標為； ③ 以PQ為直徑作⊙D，則⊙D半徑r為，再過P作PE⊥y軸于E點， 過D作DF⊥y軸于F點，由梯形中位線 求得DF=，顯然r＜DF，故⊙D與y同無① 交點， 那么此時在y軸上無M點使得△MPQ為直角三角形. 綜上所述，滿足要求的M點或