Question

15．已知二次函數y=-x²+（m-1）x+m．
（1）證明：不論m取何值，該函數圖象與x軸總有公共點；
（2）若該函數的圖象與y軸交點于（0，3），求出頂點坐標并畫出該函數；
（3）在（2）的條件下，觀察圖象，不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是0＜x＜2．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到關于x的方程，找出相應的a，b及c的值，表示出b²-4ac，整理配方后，根據完全平方式大于等于0，判斷出b²-4ac大于等于0，可得出拋物線與x軸總有交點，得證；
（2）由拋物線與y軸交于（0，3），將x=0，y=3代入拋物線解析式，求出m的值，進而確定出拋物線解析式，配方后找出頂點坐標，根據確定出的解析式列出相應的表格，由表格得出7個點的坐標，在平面直角坐標系中描出7個點，然后用平滑的曲線作出拋物線的圖象，如圖所示；
（3）由圖象可得出不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集．

解答 （1）證明：令y=0，得到-x²+（m-1）x+m=0，
∵a=-1，b=m-1，c=m，
∴b²-4ac=（m-1）²+4m=（m+1）²，
又（m+1）²≥0，即b²-4ac≥0，
∴方程y=-x²+（m-1）x+m有實數根，
則該函數圖象與x軸總有公共點；
（2）解：∵該函數的圖象與y軸交于點（0，3），
∴把x=0，y=3代入解析式得：m=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點坐標為（1，4）；
列表如下：

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-5	0	3	4	3	0	-5

描點；
畫圖如下：

（3）解：由圖象可得：不等式-x²+（m-1）x+m＞3的解集是0＜x＜2，
故答案為0＜x＜2．

點評 此題考查了拋物線與x軸的交點，利用待定系數法確定函數解析式，函數圖象的畫法，以及二次函數的圖象與性質，是一道綜合性較強的試題．