Question

【題目】在矩形ABCD中，BC＝6，點E是AD邊上一點，∠ABE＝30°，BE＝DE，連接BD.動點M從點E出發沿射線ED運動，過點M作MN∥BD交直線BE于點N.

（1）如圖1，當點M在線段ED上時，求證：MN＝EM；

（2）設MN長為x，以M、N、D為頂點的三角形面積為y，求y關于x的函數關系式；

（3）當點M運動到線段ED的中點時，連接NC，過點M作MF⊥NC于F，MF交對角線BD于點G（如圖2），求線段MG的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】分析:（1）先根據等角對等邊證明EM=EN, 過點作 于點,則.

在Rt△EMH中，根據銳角三角函數求出MH與EM的數量關系，進而可證明結論；

（2）點M從點E出發沿射線ED運動，所以分當點M在線段ED上時與當點M在線段ED的延長線上時兩種情況討論，根據所作的輔助線，可得y與x的關系；

（3）連接CM交BD于點，可得∠NMC=90°，進而可得∽，可得，解之可得MG的長．

詳解:（1）證明：∵°, ° ,

∴ °

∵ ,

∴°

∵∥,

∴

∴°,

∴

過點作 于點,則.

在中，

∴

∴

（2）在中，，

∴

∵ ∴

a.當點在線段上時，過點作于點,

在中，

由（1）可知：

,

∴

∴

∴

b.當點在線段延長線上時，過點作于點

在中， ,

在中，,

∴,

∴ ;

（3）連接,交于點.

∵為的中點 ,

∴,

∴.

∵ ,

∴,

∴,

∴,

∴.

∵∥ ,

∴,

∴ ,

,

∵ ,

∴,

又∵ ,

∴∽,

∴，即,

∴ .

點睛:本題結合矩形的性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，二次函數的綜合應用，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是熟練掌握各種圖形的判定與性質，．