Question

如圖，某市郊外景區內一條筆直的公路a經過三個景點A、B、C，景區管委會又開發了風景優美的景點D，經測量景點D位于景點A的北偏東30°方向8km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．
（1）景區管委會準備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長；（結果精確到0.1km）
（2）求景點C與景點D之間的距離．（結果精確到1km）
（參考數據：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）

Answer 1

【答案】分析：過點D作DE⊥AC于點E，過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，求DE的問題就可以轉化為求∠DBE的度數或三角函數值的問題．Rt△DCE中根據三角函數就可以求出CD的長．
解答：解：（1）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，
過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=AD=×8=4，
∴DF=，
在Rt△ABF中BF==3，
∴BD=DF-BF=4-3，
sin∠ABF=，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=，
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=，
∴DE=BD•sin∠DBE=×（4-3）=≈3.1（km），
∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km；

（2）由題意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=，
∴DC=≈4（km），
∴景點C與景點D之間的距離約為4km．
點評：本題主要考查解直角三角形的條件，已知直角三角形的一個銳角和一邊長，或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角．