Question

如圖，已知△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，
（1）求證：AD=BD=BC．
（2）若AB=1，求AD的長．（結果保留根號）
（3）求cos36°的值．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）由△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，根據等腰三角形的性質與三角形內角和定理，即可求得各角的度數，繼而證得AD=BD=BC．
（2）易證得△CBD∽△CAB，然后設AD=x，則BC=x，CD=1-x，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AD的長．
（3）首先作DE⊥AB，垂足為E，可得AE=

1

2

AB，在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC；

（2）解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴CB²=CA•CD，
設AD=x，則BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（不合題意，舍去），
∴AD=

5 -1

2

；

（3）解：作DE⊥AB，垂足為E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

；
在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

=

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．