Question

已知：如圖AB∥CD，AD∥CE，且∠ACB=90°，E為AB的中點．
①試說明DE與AC互相平分；
②探究：當四邊形AECD是正方形時，求∠B的度數；
③探究：當四邊形ABCD是等腰梯形，求∠B的度數．

Answer 1

證明：①連接DE，
∵AB∥CD，AD∥CE
∴四邊形AECD是平行四邊形
∴DE與AC互相平分；

②∵四邊形AECD是正方形
∴CE⊥AB
∵在Rt△ACB中，E為AB的中點．
∴CE=EB
∴∠B=45°；

③∵在Rt△ACB中，E為AB的中點
∴CE=AE=BE
∵四邊形AECD是平行四邊形
∴CE=AD
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴AD=BC
∴BC=CE=BE
∴△EBC是等邊三角形
∴∠B=60°．
分析：①可通過證四邊形ADCE是平行四邊形，來得出DE與AC互相平分的結論；
②當四邊形AECD是正方形時，∠CAB=45°，即△CAB是等腰Rt△，由此可求出∠B的度數；
③當四邊形ABCD是等腰梯形時，AD=BC=CE，可證得三角形BEC是等邊三角形，由此可得出∠B的度數．
點評：本題涉及的知識點有：平行四邊形的判定，平行四邊形、正方形、等腰梯形的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質等．