Question

如圖①，以四邊形AOCD的頂點O為原點建立直角坐標系，點A、C、D的坐標分別為（0，2）、（2，0）、（2，2），點P（m，0）是x軸上一動點，m是大于0的常數，以AP為一邊作正方形APQR（QR落在第一象限），連接CQ．
（1）請判斷四邊形AOCD的形狀，并說明理由：
（2）連接RD，請判斷△ARD的形狀，并說明理由：
（3）如圖②，隨著點P（m，0）的運動，正方形APQR的大小會發生改變，若設CQ所在直線的表達式為y=kx+b（k≠0），求k的值．

Answer 1

解：（1）如圖①，由題意知：OA=OC=CD=AD=2
∴四邊形OADC為菱形．
又∵∠AOC=90°
∴四邊形OADC為正方形；

（2）如圖①，∵四邊形APQR是正方形，
∴AP=AR，∠PAR=90°，
∵四邊形OADC是正方形，
∴∠OAD=90°，
∴∠OAP=∠DAR，
又∵OA=DA
∴在△OAP與△DAR中，，
∴△OAP≌△DAR（SAS），
∴∠ADR=∠AOP=90°，即△ARD為直角三角形；


（3）如圖②，過點Q作QE⊥x軸于E點．則∠QEC=∠AOP=90°
∵四邊形APQR是正方形
∴AP=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APO+∠EPQ=90°．
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠EPQ，
∴在△AOP與△PEQ中，，
∴△AOP≌△PEQ（AAS），
∴AO=PE=2，PO=QE=m（m是大于0的常數），
∴Q（2+m，m）、C（2，0）
∴
解得：
∴k的值為1．
分析：（1）首先由“四條邊相等的四邊形”可以判定四邊形AOCD是菱形，然后由“有一內角為直角的菱形是正方形”推知菱形AOCD是正方形；
（2）利用△OAP≌△DAR（SAS），求出∠ADR=∠AOP=90°，即得△ARD是直角三角形；
（3）通過證△AOP≌△PEQ（AAS），得到AO=PE=2，PO=QE=m（m是大于0的常數），即Q（2+m，m）、C（2，0）．所以把Q、C的坐標代入函數解析式，列出方程組，通過解方程組來求k的值．
點評：本題考查了一次函數綜合題，其中涉及到的知識點有：正方形的性質，全等三角形的判定與性質、以及用待定系數法求一次函數的解析式．解答（3）中的方程組時，要注意m的取值范圍．