Question

【題目】如圖，拋物線y=mx+2mx-3m(m≠0)的頂點為H，與軸交于A、B兩點（B點在A點右側），點H、B關于直線l：對稱，過點B作直線BK∥AH交直線l于K點．

（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線I上。

（2）求此拋物線的解析式；

（3）將此拋物線向上平移，當拋物線經過K點時，設頂點為N，求出NK的長．

Answer 1

【答案】(1) A(-3,0) B(1,0) ； (2)y=-x-x+； (3)NK=4

【解析】

（1）令y=0，解關于x的一元二次方程，即可得到點A、B的坐標；然后把點A的坐標代入直線l的解析式，計算即可證明點A在直線上；
（2）根據軸對稱的性質可得AH=AB，根據直線l的解析式求出直線l與x軸的夾角為30°，然后得到∠HAB的度數是60°，過點H作HC⊥x軸于點C，然后解直角三角形求出AC、HC，從而得到OC的長度，然后寫出點H的坐標，再把點H的坐標代入拋物線解析式計算求出m的值，即可得解；
（3）根據平行直線的解析式的k值相等求出直線BK的解析式的k值，然后利用待定系數法求出直線BK的解析式，與直線l的解析式聯立求解得到點K的值，再利用拋物線解析式求出相應橫坐標上的點，從而求出拋物線向上移動的距離，然后得到平移后的拋物線的頂點N的坐標，根據兩點間的距離公式計算即可得到NK的值．

令y=0，則mx2+2mx-3m=0（m≠0），
解得x1=-3，x2=1，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），

證明：∵直線l：

當x=-3時，

∴點A在直線l上；

（2）∵點H、B關于過A點的直線l：對稱，

∴AH=AB=4，
設直線l與x軸的夾角為α，則

所以，∠α=30°，
∴∠HAB=60°，
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則

∴頂點H

代入拋物線解析式，得

解得m=-

所以，拋物線解析式為

（3）∵BK∥AH
∴直線BK的k=tan60°=
設直線BK的解析式為y=x+b，
∵B點坐標為（1，0），
∴+b=0，
解得b=-，
∴直線BK的解析式為y=x-

聯立

解得

∴點K的坐標為（3，2 ），
當x=3時，

∴平移后與點K重合的點的坐標為（3，-6 ），
平移距離為2-（-6）=8，
∵平移前頂點坐標為（-1，2），

2+8=10，
∴平移后頂點坐標N（-1，10），

所以，NK的長是4