Question

如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連結DC，當△DCE的面積最大時，求點D的坐標；

（3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為以AC為腰的等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（1，0）（3）P₁（，－）P₂（-，）P₃(1, -2)  P₄(,-).

【解析】（1）∵二次函數的圖像經過點A（2，0）C(0,－1)

∴ 解得： b=－  c=－1   (2分)

∴二次函數的解析式為 (1分)

（2）設點D的坐標為（m，0）， （0＜m＜2）

∴ OD=m   ∴AD=2-m   由△ADE∽△AOC得， 

∴  ∴DE=        (1分)

∴△CDE的面積=××m==  (2分)

當m=1時，△CDE的面積最大，此時點D的坐標為（1，0）       (1分)

（3）存在.

  由(1)知：二次函數的解析式為

設y=0則 解得：x₁=2  x₂=－1，∴點B的坐標為（－1，0）  C（0，－1）

設直線BC的解析式為：y=kx＋b

∴   解得：k=-1  b=-1，∴直線BC的解析式為: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90⁰  OA=2  OC=1，由勾股定理得：AC=

∵點B(－1,0)  點C（0，－1），∴OB=OC  ∠BCO=45⁰.    (1分)

①當以點C為頂點且PC=AC=時，

設P(k, －k－1),過點P作PH⊥y軸于H，

∴∠HCP=∠BCO=45⁰，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中

k²+k²=  解得k₁=， k₂=－

∴P₁（，－） P₂（－，）(3分)

②以A為頂點，即AC=AP=

設P(k, －k－1),過點P作PG⊥x軸于G，

AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中  AG²＋PG²=AP²，（2－k)²+(－k－1)²=5  解得：k₁=1,k₂=0(舍)  ∴P₃(1, －2)    (3分)

（3）AP=CP，此時AP²=CP²

2X²-2X+5=2X²

-2X=-5，X=2.5

代入BC方程，Y=-3.5

因此P₄（2.5，-3.5）

綜上所述，存在四點：P₁（，－）P₂（-，）P₃(1, -2)  P₄(,-).

（1）用待定系數法求得二次函數的解析式

（2）設點D的坐標為（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，

從而求得DE的長，通過△CDE的面積公式求得當m=1時，△CDE的面積最大，即可求出點D的坐標

（3）求出直線BC的解析式，若三角形為等腰三角形，則有三種可能，利用勾股定理從而求得P點的坐標