Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于A（2，2），B（n，4）兩點，連接OA、OB．

（1）求一次函數和反比例函數的解析式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在直角坐標系中，是否存在一點P，使以P、A、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；（2）的面積為；（3）存在，點的坐標為（-3，-6），（1，-2）（3，6）．

【解析】

（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k2和n的值，可得反比例函數解析式，再利用待定系數法即可求出一次函數的解析式；

（2）設一次函數與軸交于點，過點、分別向軸作垂線，垂足為點、，令x=0，可求出點C的坐標，根據即可得答案；

（3）分OA、OB、AB為對角線三種情況，根據A、B坐標可得直線OA、OB的解析式，根據互相平行的兩條直線斜率相同可知直線OP、AP、BP的斜率，利用待定系數法可求出其解析式，進而聯立解析式求出交點坐標即可得答案．

（1）∵點，在反比例函數上，

∴，，

∴，，

∴，，

∵點，在一次函數上，

∴，，

∴，，

∴，

∴一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為．

（2）如圖，設一次函數與y軸交于點，過點、分別向軸作垂線，垂足為點、，

∵當時，，

∴點的坐標為，

∵，，

∴，，

∴，

即的面積為．

（3）∵點A（2，2），B（-1，-4），

∴直線OA的解析式為y=x，直線OB的解析式為y=4x，直線AB的解析式為y=2x-2，

①如圖，當OA//PB，OP//AB時，

∴直線OP的解析式為y=2x+b1，

設直線PB的解析式為y=x+b1，

∵點B（-1，-4）在直線上，

∴-4=-1+b1，

解得：b1=-3，

∴直線PB的解析式為y=x-3，

聯立直線OP、BP解析式得：，

解得：，

∴點P坐標為（-3，-6），

②如圖，當OB//AP，OA//BP時，同①可得BP解析式為y=x-3，

設AP的解析式為y=4x+b2，

∵點A（2，2）在直線AP上，

∴2=2×4+b2，

解得：b2=-6，

∴直線AP的解析式為y=4x-6，

聯立PB和AP解析式得：，

解得：，

∴點P坐標為（1，-2），

③如圖，當OP//AB，OB//AP時，

同①②可得：直線OP的解析式為y=2x，直線AP的解析式為y=4x-6，

聯立直線OP和AP解析式得：，

解得：，

∴點P坐標為（3，6），

綜上所述：存在點P，使以P、A、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為（-3，-6），（1，-2）（3，6）．