Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2經過點A（-1，0），B（5，0），與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為線段AB上一點，連接PC．將線段PC繞點P順時針旋轉90°得到線段PF，連接BF．設點P的坐標為（t，0），△PBF的面積為S，求S與t的函數關系式，并求出當△PBF的面積最大時，點P的坐標及此時△PBF的最大面積；
（3）在（2）的條件下，點P在線段OB上移動的過程中，△PBF能否成為等腰三角形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線過A、B、C三點，所以此三點的坐標使拋物線的解析式成立．
（2）①此題要分作兩種情況進行討論：
①當P點位于原點左側，線段OA上；此時-1≤t≤0，可過F作FD⊥x軸于D，由此可得到DF的長，以BP為底，DF為高，即可求得△BPF的面積表達式，也就得到了關于S、t的函數關系式；
②當P點位于原點右側，線段OB上；此時0＜t≤5，可仿照一的方法進行求解；
（3）設P點坐標為（t，0），假若這樣的等腰三角形存在，再進行分類，當P點在線段OA上和線段OB上，求出FB和PF的長，令|BF|=|PF|，求出t的值即可．

解答：解：（1）（法一）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三點代入解析式得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 5 b= 8 5 c=2

；
∴y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；
（法二）設拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-

2

5

；
∴y=-

2

5

(x+1)(x-5)，
即y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；

（2）①過點F作FD⊥x軸于D，如圖1，
當點P在原點左側時（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=

1

2

t2-

5

2

t（-1≤t≤0），
當t=-1時，S_△PBF有最大值2；此時P點坐標為（-1，0）；



②當點P在原點右側時（0＜t≤5），如圖2，DF=t，BP=5-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=-

1

2

t²+

5

2

t（0＜t≤5）；
當t=

5

2

時，S_△PBF有最大值

25

8

；此時坐標為（

5

2

，0）；
綜上S與t的函數關系式為S=

1 2 t2- 5 2 t(-1≤t≤0) - 1 2 t2+ 5 2 t(0＜t≤5)

，
當t=

5

2

時，S_△PBF有最大值

25

8

；此時坐標為（

5

2

，0）；



（3）能；
設P點坐標為（t，0），
當-1≤t≤0時，這樣的等腰三角形不存在，
當0＜t≤5時，如圖3，F點坐標為（2+t，t），
PF=

4+t2

，FB=

(3-t)2+t2

，
若△PBF是等腰三角形，則PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合題意舍去），
故當t=1時△PBF是等腰三角形．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、以及三角形面積的求法等重要知識點；在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果，此題綜合性較強，難度較大．