Question

【題目】如圖，已知中，，是邊的中點，是邊上一動點，與相交于點．

（1）如果，，且為的中點，求線段的長；

（2）聯結，如果，且，，求的值；

（3）聯結，如果，且，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據已知條件得到CP=4，求得BP=2，根據三角形重心的性質即可得到結論；
（2）如圖1，過點B作BF∥CA交CD的延長線于點F，根據平行線分線段成比例定理得到，求得，設CP=k，則PA=3k，得到PA=PB=3k根據三角函數的定義即可得到結論；
（3）根據直角三角形的性質得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根據相似三角形的性質得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：（1）∵為的中點，，

∴

∵，，

∴

∵是邊的中點，為的中點，

∴點是的重心

∴

（2）過點作交的延長線于點

∴

∵，∴，

∵，，則，∴

∴

∴，

∴，

設，則

∵，是邊的中點，∴

∴，∴，∵

∴

（3）∵，是邊的中點

∴

∵

∴

∵，∴

∴

∵，∴，∵，

，∴

∵，，∴