Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C．

(1)求直線BC的解析式．

(2)點P是線段BC下方拋物線上的一個動點．

①求四邊形PBAC面積的最大值，并求四邊形PBAC面積的最大時P點的坐標；

②如果在x軸上存在點Q，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)x2﹣x﹣4，；(2)①16；②點Q的坐標為(2，0)或(6，0)

【解析】

（1）先根據題意確定點A、B、C的坐標，然后用待定系數法即可解答；

（2）①過P作x軸的垂線交直線BC于點N,連接PC,PB．設P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．再用x表示出PN的長度，然后根據二次函數性質求出PN的最大值，進而求得的最大值，最后再加上即可解答；②以BC為平行四邊形的一邊和以BC為平行四邊形的對角線兩種情況討論，利用平移和中點公式進行求解即可．

解：(1)由點A、B、C在拋物線yx2﹣x﹣4的函數圖像上

令y=0，則x=4或﹣2，即點A、B的坐標分別為(﹣2，0)、(4，0);

令x=0時，y=-4,即C點坐標(0，-4)．

由待定系數法可得直線BC的解析式為：y=x-4．

(2)

①如圖，過P作x軸的垂線交直線BC于點N,連接PC,PB．

設P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．

∴PN=x-4-(x2﹣x﹣4)=-x2+2x=-（x-2）2-2

∴當x=2時，PN有最大值為2．此時P坐標為(2，-4)．

∴=PN·OB=×2×4=4

∴四邊形PBAC面積最大值==12+4=16

② 第一種情況：當BC是平行四邊形的一條邊時，

如圖所示，點C向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點B，

設：點P(n，n2﹣n﹣4)，點Q(m，0)，

則點P向右平移4個單位、向上平移4個單位得到點Q，

即：n+4=m，n2﹣n﹣4+4=0，

解得：m=4或6(舍去4)，

即點Q(6，0)；

第二種情況：當BC是平行四邊形的對角線時，

設點P(m，n)、點Q(s，0)，其中nm2﹣m﹣4，

由中點公式可得：m+s=﹣2，n+0=4，

解得：s=2或4(舍去4)，

故點Q(2，0)；

故點Q的坐標為(2，0)或(6，0)；