Question

如圖，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以點O為坐標原點，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，AO=3，∠AOB=30°，將Rt△ABO沿OB翻折后，點A落在第一象限內的點D處．
（1）求D點坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過B、D兩點，求此拋物線的表達式；
（3）若拋物線的頂點為E，它的對稱軸與OB交于點F，點P為射線OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M．是否存在點P，使得以E、F、M、P為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-，）．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E，如圖（1）．
由翻折可知：DO=AO=3，
∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠DOE=30°．
∴DE=
在Rt△COD中，由勾股定理，得
OE=
∴D（，）

（2）在Rt△AOB中，
AB=AO•tan30°=3×=，
∴B（，3）．
∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過B（，3），D（，）兩點，
∴
解得
∴此拋物線表達式為y=-x²+x+3．

（3）存在符合條件的點P，設P（x，y），
作EH⊥PM于點H，FG⊥PM于點G，如圖（2）．
∵E為拋物線y=-x²+x+3的頂點，
∴E（，）．
設OB所在直線的表達式為y=kx，
將點B（，3）代入，得k=，
∴y=x．
∵P在射線OB上，
∴P（x，x），F（，）．
則H（x，）G（x，）．
∵M在拋物線上，M（x，-x²++3）．
要使四邊形EFMP為等腰梯形，只需PH=GM．
x-=-（-x²+x+3），
即-x²+x+3+x=5．
解得x₁=2，x₂=．
∴P₁點坐標為（2，6），P₂點坐標為（，）與F重合，應舍去．
∴P點坐標為（2，6）．
分析：（1）過點D作DC⊥x軸于點E，如圖（1），由軸對稱得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，從而可以求出D的坐標．
（2）通過解直角三角形AOB求出AB的值，求出點B的坐標，再將B、D的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E點的坐標，利用待定系數法求出直線OB的解析式，從而求出F的坐標，從而求出EF，設P（x，y），作EH⊥PM于點H，FG⊥PM于點G，如圖（2），由題意可得PH=GM從而求出點P的坐標．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了點的坐標，待定系數法求函數的解析式，等腰梯形的判定及性質及解直角三角形的運用．