Question

【題目】婷婷在發現一個門環的示意圖如圖所示．圖中以正六邊形ABCDEF的對角線AC的中點O為圓心，OB為半徑作⊙O，AQ切⊙O于點P，并交DE于點Q，若AQ＝12cm，則該圓的半徑為_____cm．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接OB，OP，根據等腰三角形的性質得到OB⊥AC，根據切線的性質得到OP⊥AQ，設該圓的半徑為r，得到OB＝OP＝r，根據等邊三角形的性質得到AB＝BC＝CD＝2r，AO＝，求得AC＝，根據三角函數的定義得到sin∠PAO＝，過Q作QG⊥AC于G，過D作DH⊥QG于H，根據矩形的性質得到HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，根據勾股定理得到AG＝，根據三角函數的定義即可得到結論．

解：連接OB，OP，

∵AB＝BC，O為AC的中點，

∴OB⊥AC，

∵AQ是⊙O的切線，

∴OP⊥AQ，

設該圓的半徑為r，

∴OB＝OP＝r，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BAO＝30°，

∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝，

∴AC＝，

∴sin∠PAO＝，

過Q作QG⊥AC于G，過D作DH⊥QG于H，

則四邊形DHGC是矩形，

∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，

∴sin∠PAO＝，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，

∴QG＝12，

∴AG＝，

∴QH＝12﹣2r，DH＝，

∴tan∠QDH＝tan30°＝，

解得r＝，

∴該圓的半徑為cm，

故答案為：．