Question

反比例函數的圖象經過點A（3，4）．
（1）求反比例函數解析式；
（2）在坐標軸上是否存在點P（與原點O不重合），使AO=AP？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數的圖象經過點A（3，4），
∴，
解得：k=12，
∴反比例函數解析式為；

（2）存在．
若點P在x軸上，設點P的坐標為（x，0），其中x≠0．
由題意可得：OA=，AP=，
∴=5，
解得：x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點P的坐標為（6，0）；
若點P在y軸上，設點P的坐標為（0，y），其中y≠0，
同理可得：=5，
解得：y₁=0（舍去），y₂=8，
∴點P的坐標為（0，8）；
綜上：在坐標軸上存在點P（與原點O不重合），使AO=AP，點P的坐標為（6，0）或（0，8）．
分析：（1）由反比例函數的圖象經過點A（3，4），利用待定系數法即可求得反比例函數解析式；
（2）分別從若點P在x軸上，設點P的坐標為（x，0），其中x≠0與若點P在y軸上，設點P的坐標為（0，y），其中y≠0去分析，利用兩點距離公式，即可得方程，繼而可求得答案．
點評：此題考查了待定系數法求反比例函數的解析式、兩點間的距離公式以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．