Question

如圖，將邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點A₁、A₂、A₃、A₄分別是正方形的中心，則前5個這樣的正方形重疊部分的面積和為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   1
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：過點A₁分別作正方形兩邊的垂線A₁D與A₁E，根據正方形的性質可得A₁D=A₁E，四邊形A₁EA₂D是正方形，再根據同角的余角相等求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角邊角”證明△A₁BD和△A₁CE全等，根據全等三角形的面積相等求出陰影部分的面積等于正方形面積的，同理可求所有陰影部分的面積都是正方形的面積的，然后根據正方形的面積列式計算即可．
解答：解：如圖，過點A₁分別作正方形兩邊的垂線A₁D與A₁E，
∵點A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，四邊形A₁EA₂D是正方形，
∴∠BA₁D+∠BA₁E=90°，
又∵∠CA₁E+∠BA₁E=90°，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，，
∴△A₁BD≌△A₁CE（ASA），
∴△A₁BD的面積=△A₁CE的面積，
∴陰影部分的面積=正方形A₁EA₂D的面積=×1²=，
同理可求，每一個陰影部分的面積都是正方形面積的，為，
∴重疊部分的面積和=×4=1．
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形求出陰影部分的面積是正方形的面積的是解題的關鍵．