Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現將Rt△AOB繞著直角頂點O按逆時針方向旋轉90°得到△COD，已知一拋物線經過C、D、B三點．

（1）該拋物線的解析式為　　；

（2）設點E是拋物線上位于第一象限的動點，過點E作EF⊥x軸于點F，并交直線AB于N，過點E再作EM⊥AB于點M，求△EMN周長的最大值；

（3）當△EMN的周長最大時，在直線EF上是否存在點Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+4；（2）最大值為；（3）存在，當點Q的坐標為（，）或（，）時，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形

【解析】

（1）設拋物線的解析式為．由線段OA、OB的長度可得出點A、B的坐標，再由旋轉的特性可得出點C、D的坐標，由點B、C、D三點的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）在Rt△AOB中，求出∠ABO的正弦余弦值，再根據相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，從而得出∠MEN=∠FBN，用EN的長度來表示出EM和MN的長度，由點A、B的坐標利用待定系數法求出直線AB的函數解析式，設出點E的坐標為 （0＜t＜4），即可找出點N的坐標為，從而得出線段EN的長度，將EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周長，根據二次函數的性質可求出EN的最大值，由此即可得出結論；

（3）結合（2）的結論可知直線EF的解析式為，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°兩種情況來考慮，利用相似三角形的性質找出相似邊的比例關系來找出線段的長度，再根據點與點間的數量關系即可找出點Q的坐標．

解：（1）設拋物線的解析式為．

∵OA=2，OB=4，

∴點A（0，2），點B（4，0），

由旋轉的特性可知：

點C（﹣2，0），點D（0，4）．

將點B（4，0）、點C（﹣2，0）、點D（0，4）代入到拋物線解析式得：

，解得：．

∴該拋物線的解析式為．

故答案為：．

（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．

在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，

∴AB=，

∴sin∠ABO=，cos∠ABO=．

∵EM⊥AB，EF⊥OB，

∴∠EMN=∠BFN=90°．

∵∠BNF=∠ENM，

∴△EMN∽△BFN，

∴∠MEN=∠FBN．

在Rt△EMN中，sin∠MEN=，cos∠MEN=，

∴MN=ENsin∠MEN=ENsin∠ABO=EN，

EM=ENcos∠MEN=ENcos∠ABO=EN．

∴C△EMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN．

由（1）知A（0，2）、B（4，0），設直線AB的解析式為：y=kx+2，

∴4k+2=0，解得：k=，

∴直線AB的解析式為：．

設拋物線上點E的坐標為（0＜t＜4），

∵EF⊥OB，

∴令y=+2中x=t，y=+2，

∴點N的坐標為（t，﹣t+2），

∴EN=﹣+t+4﹣（﹣t+2）=﹣+t+2．

∴C△EMN=（﹣+t+2）=﹣（0＜t＜4）．

∴當時，EN最大，此時C△EMN最大，

∴C△EMN最大為： [﹣+2]=．

（3）由（2）知，當C△EMN取最大值時，EF的解析式為：x=．

①若∠QDC=90°，過點Q作QG⊥y軸于點G，如圖2所示．

∵EF的解析式為：x=，

∴QG=，

∵∠QDG+∠DQG=90°，∠CDO+∠QDG=90°，

∴∠DGQ=∠CDO，

又∵∠QGD=∠DOC=90°，

∴△QDG∽△DCO，

∴，

∴DG=2×．

∴OG=OD﹣DG=4﹣，

∴點Q的坐標為（，）；

②若∠DCQ=90°，如圖3所示．

CF=﹣（﹣2）=，

∵∠QCF+∠OCD=90°，∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠QCF=∠CDO，

又∵∠CFQ=∠DOC=90°，

∴△COD∽△QFC，

∴，即，

∴FQ=，

∴點Q的坐標為（，）．

綜上所述，當點Q的坐標為（，）或（，）時，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形．