Question

已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCD是頂點坐標分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點D在y軸上，且點D的坐標為（0，﹣5），點P是直線AC上的一動點．
（1）當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式）；
（2）當點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M．問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點M？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F．請探求在動圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x﹣5
（2）M的坐標為（，0）或（，0）
（3）存在，

試題分析：（1）只需先求出AC中點P的坐標，然后用待定系數法即可求出直線DP的解析式．
（2）由于△DOM與△ABC相似，對應關系不確定，可分兩種情況進行討論，利用三角形相似求出OM的長，即可求出點M的坐標．
（3）易證S_△PED=S_△PFD．從而有S_{四邊形DEPF}=2S_△PED=DE．由∠DEP=90°得DE²=DP²﹣PE²=DP²﹣．根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：當DP⊥AC時，DP最短，此時DE也最短，對應的四邊形DEPF的面積最�。�借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC時DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．
解：（1）過點P作PH∥OA，交OC于點H，如圖1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵點P是AC中點，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴點P的坐標為（，2）．
設直線DP的解析式為y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，
∴
∴
∴直線DP的解析式為y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵點B坐標為（3，4），點D的坐標為（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵點M在x軸的正半軸上，
∴點M的坐標為（，0）
②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵點M在x軸的正半軸上，
∴點M的坐標為（，0）．
綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點M的坐標為（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都與⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S_△PED=S_△PFD．
∴S_{四邊形DEPF}=2S_△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE²=DP²﹣PE²．=DP²﹣．
根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：
當DP⊥AC時，DP最短，
此時DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最�。�
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE²=DP²﹣=（）²﹣=．
∴DE=，
∴S_{四邊形DEPF}=DE=．
∴四邊形DEPF面積的最小值為．