Question

如圖，在△ABC中，AE=EB，AF=FC，有一同學發現EF與BC存在以下關系：EF∥BC，且EF=

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BC．
（1）請你用學過的知識來說明上述關系成立的理由．
（2）如圖：在（1）的結論下，過BC、EF作直線，過A作BC的平行線．將AC向左平移到DC，得到圖②，將AC向右平移到DC，得到圖③．在圖②和圖③中猜想線段EF與線段AD、BC的關系，請把你猜想的結論填在圖下的方框內，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長EF到點D，使FD=EF，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DC，對應角相等可得∠D=∠AEF，再根據內錯角相等兩直線平行可得CD∥AB，從而證明四邊形BCDE是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等即可得證；
（2）圖②中，根據（1）的結論可得EG∥BH且EG=

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BH，再根據平移可知四邊形ADCH是平行四邊形，且FG∥BC，從而得到FG=

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（AD+CH），最后根據EF=EG-FG整理即可得解；
圖③中，同理可得EF=EG+FG，然后整理即可得解．

解答：解：（1）理由如下：延長EF到點D，使FD=EF，
在△AEF與△CDF中，

AF=FC ∠AFE=∠DFC EF=FD

(對頂角相等)，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=DC，∠D=∠AEF，
∴CD∥AB，
∵AE=EB，
∴DE=EB，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，且ED=BC，
∴EF∥BC，且EF=

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BC；

（2）如圖②所示，根據（1）得，EG∥BC，且EG=

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BH，
根據題意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四邊形ADCH是平行四邊形，
∵EG∥BC，
∴FG=

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（AD+CH），
∴EF=EG-FG=

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BH-

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（AD+CH）=

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2

（BH-CH）-

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AD=

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（BC-AD）；
如圖③所示，根據（1）得，EG∥BC，且EG=

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BH，
根據題意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四邊形ADCH是平行四邊形，
∵EG∥BC，
∴FG=

1

2

（AD+CH），
∴EF=EG+FG=

1

2

BH+

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（AD+CH）=

1

2

（BH+CH）+

1

2

AD=

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2

（BC+AD）．

點評：本題考查了三角形中位線的證明，以及三角形中位線定理的拓廣，作出輔助線找出中位線EF的2倍長度，構造出平行四邊形并進行證明四邊形BCDE是平行四邊形是解決本題的關鍵．